Question

3．已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值，
（2）求證：數列{a_n+3}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（3）在數列{S_n}中取出若干項S${\;}_{{n}_{1}}$，S${\;}_{{n}_{2}}$，S${\;}_{{n}_{3}}$，…，S${\;}_{{n}_{k}}$，…，若數列{n_k}是等差數列，試判斷數列{S${\;}_{{n}_{k}}$}是否為等差數列，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據a₁=S₁，a₂=S₂-a₁結合原遞推式求得a₁，a₂的值；
（2）由數列遞推式可得a_n+1=2a_n+3，利用構造法即可證明數列{a_n+3}是等比數列，求出等比數列的通項公式可得數列{a_n}的通項公式；
（3）假設數列{S${\;}_{{n}_{k}}$}是等差數列，利用等差數列的定義借助于反證法進行證明．

解答 （1）解：由S_n=2a_n-3n（n∈N^*）得到：
a₁=S₁=2a₁-3，解得a₁=3．
則a₂=S₂-a₁=2a₂-3×2-3，解得a₂=9．
∴a₁=3，a₂=9；
（2）證明：∵S_n=2a_n-3n（n∈N^*），
∴S_n+1=2a_n+1-3（n+1）（n∈N^*），
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，即a_n+1=2a_n+3，
∴$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}$=2，
則數列{a_n+3}是等比數列，
∴a₁=3，a₁+3=6，a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
∴a_n=3•2ⁿ-3；
（3）解：數列{S${\;}_{{n}_{k}}$}不是等差數列，理由如下：
假設數列{S${\;}_{{n}_{k}}$}是等差數列．
由（2）知，a_n=3•2ⁿ-3，則S_n=2a_n-3n=3•2ⁿ⁺¹-3n-6．
∵數列{n_k}是等差數列，
∴2n₂=n₁+n₃，
∵數列{S${\;}_{{n}_{k}}$}是等差數列，
∴2S${\;}_{{n}_{2}}$=S${\;}_{{n}_{1}}$+S${\;}_{{n}_{2}}$，
即2（3•2${\;}^{{n}_{2}+1}$-3n₂-6）=3•2${\;}^{{n}_{1}+1}$-3n₁-6+3•2${\;}^{{n}_{3}+1}$-3n₃-6
=3（2${\;}^{{n}_{1}+1}$+2${\;}^{{n}_{3}+1}$）-3（n₁+n₃）-12=3（2${\;}^{{n}_{1}+1}$+2${\;}^{{n}_{3}+1}$）-6n₂-12．
整理，得2${\;}^{{n}_{2}+1}$=2${\;}^{{n}_{1}}$+2${\;}^{{n}_{3}}$，即$2•{2}^{\frac{{n}_{1}+{n}_{3}}{2}}$=2${\;}^{{n}_{1}}$+2${\;}^{{n}_{3}}$，
∵2${\;}^{{n}_{1}}$+2${\;}^{{n}_{3}}$＞2$\sqrt{{2}^{{n}_{1}}•{2}^{{n}_{3}}}$=$2•{2}^{\frac{{n}_{1}+{n}_{3}}{2}}$，
∴$2•{2}^{\frac{{n}_{1}+{n}_{3}}{2}}$=2${\;}^{{n}_{1}}$+2${\;}^{{n}_{3}}$ 不成立．
故數列{S${\;}_{{n}_{k}}$}不是等差數列．

點評 本題考查等差數列與等比數列的通項公式，考查等比關系的確定，考查邏輯思維能力與推理論證能力，是中檔題．