Question

18．已知P是△ABC內的一點，且滿足$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$+5$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，記△ABP、△BCP、△ACP的面積依次為S₁、S₂、S₃，則S₁：S₂：S₃=5：1：3．

Answer 1

分析 記△ABC的面積為S，由已知可得S₁=$\frac{5}{9}$S，S₂=$\frac{1}{9}$S，S₃=$\frac{1}{3}$S，從而求得S₁：S₂：S₃ 的值．

解答 解：記△ABC的面積為S，
∵$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$+5$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴-$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{PA}$=$\frac{3}{8}$$\overrightarrow{PB}$+$\frac{5}{8}$$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PD}$，
則D在BC上，且BD：CD=5：3，
故PD：AD=1：9，
即以BC為底時，△BCP的高是△ABC的$\frac{1}{9}$，
∴S₂=$\frac{1}{9}$S，
同理：S₁=$\frac{5}{9}$S，S₃=$\frac{1}{3}$S，
∴S₁：S₂：S₃=5：1：3，
故答案為：5：1：3

點評 本題考查共線向量的意義，兩個同底的三角形的面積之比等于底上的高之比，體現了數形結合的數學思想．