Question

7．給出下列四個命題：
（1）函數f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點（1，0）；
（2）函數y=log₂x與函數y=2^x互為反函數；
（3）已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≤0時，f（x）=x（x+1），則f（x）的解析式為f（x）=x²-|x|；
（4）若log_a$\frac{1}{2}$＞1，則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）或（2，+∞）；
（5）函數y=log_a（5-ax）在區間[-1，3）上單調遞減，則a的范圍是（1，$\frac{5}{3}$]；
其中所有正確命題的序號是（2）（3）（5）．

Answer 1

分析 根據對數函數的圖象和性質，反函數，復合函數，函數的奇偶性，逐一分析5個命題的真假，可得答案．

解答 解：（1）函數f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點（1，-1），故錯誤；
（2）函數y=log₂x與函數y=2^x互為反函數，故正確；
（3）已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≤0時，f（x）=x（x+1），
則x＞0時，f（x）=x（x-1），
則f（x）的解析式為f（x）=x²-|x|，故正確；
（4）若log_a$\frac{1}{2}$＞1，則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1），故錯誤；
（5）函數y=log_a（5-ax）在區間[-1，3）上單調遞減，
則$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ 5-3a≥0\end{array}\right.$，解得：則a的范圍是（1，$\frac{5}{3}$]，故正確；
故答案為：（2）（3）（5）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了對數函數的圖象和性質，反函數，復合函數，函數的奇偶性，難度中檔．