Question

17．現對高二某班全部50名學生測量其身高，測得學生的身高全部在155cm到195cm之間．將測量結果按如下方式分成8組：第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195），如圖是按上述分組得到的頻率分布直方圖的一部分．已知第一組與第八組的人數相同，第六組、第七組和第八組的人數依次成等差數列．
頻率分布直方圖：

頻率分布表：

分組	頻數	頻率	頻率/組距
…	…	…	…
[180，185）	x	y	z
[185，190）	m	n	p
…	…	…	…

（1）求下列頻率分布表中所標字母的值，并補充完成頻率分布直方圖；
（2）根據頻率分布直方圖求出平均數，眾數，中位數；
（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有學生中隨機抽取2名學生，求至少有一名男生來自第六組的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖得前5組的頻率和第8組的頻率，從而得到第6、7組的頻率，進而得到樣本中第6、7組的總人數為7人，再由x，m，2成等差數列，能求出結果，并補充完成頻率分布直方圖．
（2）由頻率分布直方圖，能求出求出平均數，眾數，中位數．
（3）身高屬于第六組的學生有4人，身高屬于第八組的學生有2人，由此能求出至少有一名男生來自第六組的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得前5組的頻率是：
（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
第8組的頻率是0.04，
∴第6、7組的頻率是1-0.82-0.04=0.17，
∴樣本中第6、7組的總人數為7人，
由已知得：x+m=7，①
∵x，m，2成等差數列，∴x=2m-2，②
由①②得：m=3，x=4，
∴y=0.08，n=0.06，p=0.012．
補充完成頻率分布直方圖如下圖：

（2）由頻率分布直方圖得：
平均數為：157.5×0.008×5+162.5×0.016×5+167.5×0.04×5+172.5×0.04×5+177.5×0.06×5+182.5×0.016×5+187.5×0.012×5+192.5×0.008×5=174.1．
眾數為：$\frac{175+180}{2}$=177.5．
∵前4組的頻率為（0.008+0.016+0.04）×5=0.32，
∴中位數為：170+$\frac{0.5-0.32}{0.04×5}×5$=174.5．
（3）身高屬于第六組的學生有0.016×5×50=4人，
身高屬于第八組的學生有0.008×5×50=2人
從身高屬于第六組和第八組的所有學生中隨機抽取2名學生，
基本事件總數n=${C}_{6}^{2}$=15，
至少有一名男生來自第六組的概率p=1-$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{14}{15}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的畫法，考查平均數，眾數，中位數、概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的性質的合理運用．