Question

9．已知函數f（x）=|2x-1|+|x-a|．
（1）當a=2時，解不等式：f（x）≤x+3
（2）當x，y∈Z，則稱點P（x，y）為平面上單調格點；若（2x，y）或（x，2y）為格點，則稱點P（x，y）為半格點．設Q={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{0≤x≤3}\end{array}\right.$}，A={（x，y）|f（x）≤y≤3，a=2}．
①求從區域Ω中任取一點P，而該點落在區域A上的概率；
②求從區域Ω中的所有格點或半格點中任取一點P，而該點是區域A上的格點或半格點的概率．

Answer 1

分析 （1）分類討論，解不等式即可；
（2）①記事件M=“從區域Ω中任取一點P，而該點落在區域A上”，則事件M符合幾何概型；②記事件N=“從區域Ω中的所有格點或半格點中任取一點P，而該點是區域A上的格點或半格點”，則事件N符合古典概型．

解答 解：（1）當a=2時，x≥2，f（x）≤x+3可化為3x-3≤x+3，∴x≤3，∴2≤x≤3；
$\frac{1}{2}＜$x＜2，f（x）≤x+3可化為x+1≤x+3恒成立；
x$≤\frac{1}{2}$，f（x）≤x+3可化為3-3x≤x+3，∴x≥0，∴0≤x≤$\frac{1}{2}$；
綜上所述，不等式：f（x）≤x+3的解集為[0，3]；
（2）作出集合Ω及A所對應的區域（如圖）：矩形OABC與△BCD，則：
①記事件M=“從區域Ω中任取一點P，而該點落在區域A上”，
則事件M符合幾何概型，即P=$\frac{\frac{1}{2}•3•\frac{3}{2}}{2•3}$=$\frac{3}{8}$．
②記事件N=“從區域Ω中的所有格點或半格點中任取一點P，而該點是區域A上的格點或半格點”，
則事件N符合古典概型．
區域Ω中的格點個數：
格點個數：當橫坐標分別為0，1，2時，縱坐標可以為0，1，2，3中的任一個，此時有3×4=12個；
半格點個數：當橫坐標為$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}$時，縱坐標為整數0，1，2，3，此時有2×4=8個，
當縱坐標為$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，\frac{5}{2}$時，橫坐標為整數0，1，2，此時共有9個，即區域Ω中的格點或半格點個數有29個，而區域A中的格點或半格點有（0，3），（1，3），（2，3），（1，2），（$\frac{1}{2}，2$），（$\frac{1}{2}，3）$，（$\frac{3}{2}$，3）共7個，
∴P=$\frac{7}{29}$．

點評 本題考查解不等式，考查概率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．