Question

14．設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，橢圓的離心率為$\frac{2}{3}$．如果|AB|=$\frac{15}{4}$，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 由題意離心率可得a與c，b與c的關系，代入橢圓方程，和直線方程聯立，利用弦長公式列式求得c，則橢圓方程可求．

解答 解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，得${a}^{2}=\frac{9}{4}{c}^{2}$，${b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}=\frac{5}{4}{c}^{2}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}{c}^{2}}=1$，即20x²+36y²=45c²．
∵直線l過右焦點F，且傾斜角為60°，
∴直線l的方程為y=$\sqrt{3}$（x-c），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}c}\\{20{x}^{2}+36{y}^{2}=45{c}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得：128x²-216cx+63c²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{216c}{128}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{63{c}^{2}}{128}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}•\sqrt{（\frac{216c}{128}）^{2}-\frac{252{c}^{2}}{128}}$=$\frac{15}{4}$，解得c²=4．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了弦長公式的應用，考查計算能力，是中檔題．