Question

4．過△ABC的重心G的直線l分別與邊AB、AC交于F、E兩點，設$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AF}$=y$\overrightarrow{AB}$（x＞0，y＞0），則x+y的最小值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 可畫出圖形，由條件可得到$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{x}\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AB}=\frac{1}{y}\overrightarrow{AF}$，且$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，進而得出$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3x}\overrightarrow{AE}+\frac{1}{3y}\overrightarrow{AF}$，從而得出$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=1$，從而$x+y=（x+y）（\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}）$，然后根據基本不等式即可求出x+y的最小值．

解答 解：如圖，
根據條件：$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{x}\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AB}=\frac{1}{y}\overrightarrow{AF}$；
又$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3x}\overrightarrow{AE}+\frac{1}{3y}\overrightarrow{AF}$；
又F，G，E三點共線；
∴$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=1$；
∵x＞0，y＞0；
∴$x+y=（x+y）（\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}）$=$\frac{1}{3}+\frac{x}{3y}+\frac{y}{3x}+\frac{1}{3}$$≥\frac{2}{3}+2\sqrt{\frac{x}{3y}•\frac{y}{3x}}=\frac{4}{3}$；
x+y的最小值為$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 考查三角形重心的概念及性質，向量數乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及三點共線的充要條件，基本不等式的應用．