Question

14．傾斜角為60°的直線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）交于A，B兩點，若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{a}$=（4，-$\sqrt{3}$）共線，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知，直線AB的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$，設直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$x+m，代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}{a}^{2}m}{^{2}+3{a}^{2}}$，則y₁+y₂=$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+2m，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{a}$=（4，-$\sqrt{3}$）共線，因此-$\sqrt{3}$（x₁+x₂）=4（y₁+y₂），整理得：5$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+8m=0，將x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}{a}^{2}m}{^{2}+3{a}^{2}}$代入求得3a²=4b²，由b²=a²-c²，求得a=2c，由橢圓的離心率公式可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：由題意，由題意可知：直線AB的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$，則設直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$x+m，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得（b²+3a²）x²+2$\sqrt{3}$a²mx+a²m²-a²b²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}{a}^{2}m}{^{2}+3{a}^{2}}$，則y₁+y₂=$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+2m，
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{a}$=（4，-$\sqrt{3}$）共線，
∴-$\sqrt{3}$（x₁+x₂）=4（y₁+y₂），即4（y₁+y₂）+$\sqrt{3}$（x₁+x₂）=0，
∴4[$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+2m]+$\sqrt{3}$（x₁+x₂）=0，
∴5$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+8m=0，
∴5$\sqrt{3}$×（-$\frac{2\sqrt{3}{a}^{2}m}{^{2}+3{a}^{2}}$）+8m=0，$\frac{15{a}^{2}}{^{2}+3{a}^{2}}$=4，整理得：3a²=4b²，
由b²=a²-c²，
∴3a²=4（a²-c²），整理得：a²=4c²，
則a=2c，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$，
∴橢圓的離心率$\frac{1}{2}$，
故選A．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查向量的共線定理，直線的斜率與傾斜角的關系及韋達定理的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．