Question

13．證明：若 n∈N ₊，則3 ²ⁿ⁺³-24n+37能被64整除．

Answer 1

分析 把已知式按照二項式定理展開，并花簡為27（${C}_{n}^{2}$ 8²+…+${C}_{n}^{n}$•8ⁿ）+64+192n，可得它能被64整除．

解答 證明：∵3 ²ⁿ⁺³-24 n+37=27•9 ⁿ-24 n+37=27（1+8）ⁿ-24 n+37=27（${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$•8+${C}_{n}^{2}$ 8²+…+${C}_{n}^{n}$•8ⁿ）-24 n+37
=27（${C}_{n}^{2}$ 8²+…+${C}_{n}^{n}$•8ⁿ）+27+216n-24 n+37=27（${C}_{n}^{2}$ 8²+…+${C}_{n}^{n}$•8ⁿ）+64+192n，
由于27（${C}_{n}^{2}$ 8²+…+${C}_{n}^{n}$•8ⁿ）能被64整除，64+192n 也能被64整除，
∴3 ²ⁿ⁺³-24 n+37能被64整除．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，屬于中檔題．