Question

1．已知函數f（x）=e^x-ax-a，g（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x+$\frac{16}{3}$．
（1）討論f（x）零點的個數；
（2）若?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過a的討論，求出函數的極小值，判斷零點個數．
（2）通過函數的導數，利用函數的最值，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）當a＜0時，由e^x=a（x+1），考查y=e^x與y=a（x+1）的圖象知只有一個零點；
當a=0時，無零點；
當a＞0時，f′（x）=e^x-a=0，x=lna，f（x）在x=lna處取得極小值f（lna）=-alna，
若a＞1，f（lna）=-alna＜0，有兩個零點，
若a=1，f（lna）=0，有一個零點，
若0＜a＜1，f（lna）＞0，無零點．
綜上，當a＜0或a=1時，有一個零點；當0≤a＜1時，無零點；當a＞1時，有兩個零點．（6分）
（2）由已知當x∈[-1，2]時，f（x）_min≥g（x）_min．
當a≤0時，f′（x）=e^x-a＞0，f（x）_min=f（-1）=$\frac{1}{e}$，
g′（x）=（x-1）（x-3），g（x）在[-1，1]上遞增，
在[1，2]上遞減，g（-1）=0，g（2）=6，g（x）_min=0，f（x）_min≥g（x）_min．
當a＞0時，f′（x）=e^x-a=0，x=lna，f（x）在（-∞，lna）上遞減，在（lna，+∞）上遞增．
若lna≤-1即0＜a≤$\frac{1}{e}$，f（x）_min=f（-1）=$\frac{1}{e}$，滿足f（x）_min≥g（x）_min，
若-1＜lna＜2即$\frac{1}{e}$＜a＜e²，f（x）_min=f（lna）=-alna，由-alna≥0解得$\frac{1}{e}$＜a≤1，
若lna≥2即a≥e²，f（x）在[-1，2]上遞減，
f（x）_min=f（2）=e²-3a＜0，不滿足條件．
綜上可知a的取值范圍是（-∞，1]．（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的零點個數的判斷，考查分類討論思想的應用，是中檔題．