Question

已知函數．

（1）若，試確定函數的單調區間；

（2）若，且對于任意，恒成立，試確定實數的取值范圍；

（3）設函數，求證：．

 

Answer 1

（1）的單調遞增區間是，的單調遞減區間是

（2）；

（3）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）函數在某個區間內可導，則若，則在這個區間內單調遞增，若，則在這個區間內單調遞減；若可導函數在指定的區間上單調遞增（減），求參數問題，可轉化為恒成立，從而構建不等式，要注意“=”是否可以取到.（2）含參數的一元二次不等式在某區間內恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數在區間上的最值來處理；二是分離參數，再去求函數的最值來處理，一般后者比較簡單.對于恒成立的問題，常用到兩個結論：（1），（2）；（3）掌握不等式的一些放縮問題.

試題解析：解：（1）由得，所以．……2分

由得，故的單調遞增區間是，

由得，故的單調遞減區間是

（2）由可知是偶函數.

于是對任意成立等價于對任意成立．

由得．

①當時，．

此時在上單調遞增．故，符合題意．

②當時，．

當變化時的變化情況如下表：

	單調遞減	極小值	單調遞增

 

由此可得，在上，．

依題意，，又．

綜合①，②得，實數的取值范圍是．

（3），

，

，，…，

由此得，

故．

考點：1、利用導數求函數的單調區間；2、恒成立的問題；3、證明不等式.