已知函數.
(1)若,試確定函數
的單調區間;
(2)若,且對于任意
,
恒成立,試確定實數
的取值范圍;
(3)設函數,求證:
.
(1)的單調遞增區間是
,
的單調遞減區間是
(2);
(3)證明見解析
【解析】
試題分析:(1)函數在某個區間內可導,則若
,則
在這個區間內單調遞增,若
,則
在這個區間內單調遞減;若可導函數
在指定的區間
上單調遞增(減),求參數問題,可轉化為
恒成立,從而構建不等式,要注意“=”是否可以取到.(2)含參數的一元二次不等式在某區間內恒成立的問題通常有兩種處理方法:一是利用二次函數在區間上的最值來處理;二是分離參數,再去求函數的最值來處理,一般后者比較簡單.對于恒成立的問題,常用到兩個結論:(1)
,(2)
;(3)掌握不等式的一些放縮問題.
試題解析:解:(1)由得
,所以
.……2分
由得
,故
的單調遞增區間是
,
由得
,故
的單調遞減區間是
(2)由可知
是偶函數.
于是對任意
成立等價于
對任意
成立.
由得
.
①當時,
.
此時在
上單調遞增.故
,符合題意.
②當時,
.
當變化時
的變化情況如下表:
單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 |
由此可得,在上,
.
依題意,,又
.
綜合①,②得,實數的取值范圍是
.
(3),
,
,
,…
,
由此得,
故.
考點:1、利用導數求函數的單調區間;2、恒成立的問題;3、證明不等式.
科目:高中數學 來源:2015屆廣東省廣州市高三上學期第一次質量檢測文科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知等差數列的前n項和Sn滿足
,則下列結論正確的是( )
A.數列有最大值 B.數列
有最小值
C. D.
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