Question

20．已知數列{a_n}的前n項和S_n，滿足S_n=n²-3n．
（I）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（II）設b_n=$\frac{1}{{S}_{n}+4n}$，數列{b_n}的前n項和T_n（n∈N*），當T_n＞$\frac{2016}{2017}$ 時，求n的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用公式a_n=S_n-S_n-1得出通項公式，再驗證n=1是否成立即可；
（2）化簡b_n，使用裂項法求和，解不等式得出n的范圍即可．

解答 解：（I）∵S_n=n²-3n．
∴當n=1時，S₁=1²-3×1=-2，即 a₁=-2，
當n≥2時，S_n-1=（n-1）²-3（n-1）=n²-5n+4
∴a_n=S_n-S_n-1=2n-4，
顯然，n=1時，2n-4=-2=a₁也滿足上式，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n-4．
（II）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}+4n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
令$\frac{n}{n+1}$＞$\frac{2016}{2017}$ 得 n＞2016，
∵n∈N*，故n的最小值為2017．

點評 本題考查了數列通項公式、求和公式的求法，屬于基礎題．