Question

17．已知{a_n}是正數組成的數列，a₁=1，且點（$\sqrt{{a}_{n}}$，a_n+1）（n∈N*）在函數y=x²+1的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令{b_n}滿足b_n=a_n•xⁿ（x≠0且x≠1），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題設條件知a_n+1=a_n+1，所以a_n=n；
（2）用錯位相減法求解．

解答 解：（1）點（$\sqrt{{a}_{n}}$，a_n+1）（n∈N*）在函數y=x²+1
所以a_n+1=a_n+1
根據等差數列的定義：{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列
所以a_n=n；
（2）由已知b_n=xⁿa_n=nxⁿ
S_n=b₁+b₂+b₃++b_n-1+b_n
=1×x¹+2×x²+3×x³+…+（n-1）×x^n-1+n×xⁿ①
xS_n=1×x²+2×x³+3×x⁴+…+（n-1）×xⁿ+n×xⁿ⁺¹②
①-②得（1-x）S_n=x+x²+x³+x⁴+…+×xⁿ-n×xⁿ⁺¹=$\frac{x（1+{x}^{n}）}{1-x}$-n×xⁿ⁺¹，
S_n=$\frac{x（1+{x}^{n}）}{（1-x）^{2}}$-$\frac{n{x}^{n+1}}{1-x}$．

點評 本題考查數列的概念和性質及其應用，解題時要注意公式的靈活運用．