Question

2．下列命題中：
①α=2kx+$\frac{π}{3}$（k∈Z）是tanα=$\sqrt{3}$的充分不必要條件； 
②已知命題P：?x∈R，lgx=0；
命題Q：?x∈R，2^x＞0，則P∧Q為真命題； 
③若|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow$|≠0，函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|x²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$x在R上有極值，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角范圍為[$\frac{π}{3}$，π]； 
④在△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，則△ABC為鈍角三角形；
 ⑤在△ABC中，若（a²+c²-b²）tanB=$\sqrt{3}$ac，則B=60°．
其中正確命題的序號為①②④．

Answer 1

分析 ①α在第三象限是，tanα=$\sqrt{3}$； 
②x=1時，lgx=0，：?x∈R，2^x＞0，則P∧Q為真命題； 
③函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|x²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$x在R上有極值，則f′（x）=0的△＞0，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角范圍為（$\frac{π}{3}$，π）；
④若cos（2B+C）+2sinAsinB＜0⇒cos[（B+C）+B]+2sinAsinB=-cos（A+B）＜0⇒cosC＜0，則△ABC為鈍角三角形；
 ⑤在△ABC中，若（a²+c²-b²）tanB=$\sqrt{3}$ac，則sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$⇒B=60°或120⁰．

解答 解：對于①，α在第三象限是，tanα=$\sqrt{3}$，故正確； 
對于②，x=1時，lgx=0，：?x∈R，2^x＞0，則P∧Q為真命題，故正確； 
對于③，函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|x²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$x在R上有極值，則f′（x）=0的△＞0，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角范圍為（$\frac{π}{3}$，π），故錯誤；
對于④，若cos（2B+C）+2sinAsinB＜0⇒cos[（B+C）+B]+2sinAsinB=-cos（A+B）＜0⇒cosC＜0，則△ABC為鈍角三角形，故正確；
對于 ⑤，在△ABC中，若（a²+c²-b²）tanB=$\sqrt{3}$ac，則sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$⇒B=60°或120⁰，故錯誤．
故答案為：①②④

點評 本題考查了命題真假判定，需要掌握大量的基礎知識，屬于中檔題．