Question

12．若f（x）=e^x+ae^-x為偶函數，則f（x-1）＜e+e^-1的解集為（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，2）
• C． （0，2）
• D． （-∞，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根據函數奇偶性的性質求出a的值，判斷函數的單調性，利用函數奇偶性和單調性的關系進行轉化求解即可．

解答 解：∵f（x）=e^x+ae^-x為偶函數，
∴f（-x）=f（x），即e^-x+ae^x=e^x+ae^-x，則a=1，
即f（x）=e^x+e^-x，
由f（x-1）＜e+e^-1，得f（x-1）＜f（1），
即f（|x-1|）＜f（1），
又當x≥0時，f′（x）=e^x-e^-x=e^x+e^-x＞0，
即函數f（x）在[0，+∞）上為增函數，
則|x-1|＜1，即-1＜x-1＜1，解得0＜x＜2，
所以不等式的解集為（0，2），
故選C．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據條件求出a的值，判斷函數的單調性，利用奇偶性和單調性的關系進行轉化是解決本題的關鍵．