Question

3．已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-6）=-2，當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0．則給出下列命題：
①f（2016）=-2；  
②x=-6為函數y=f（x）圖象的一條對稱軸；
③函數y=f（x）在（-9，-6）上為減函數； 
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4個根；
其中正確的命題個數為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 依題意，可知偶函數y=f（x）是以6為周期的周期函數，從而可判斷①②的正誤；當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0⇒函數y=f（x）在[0，3]上是增函數⇒函數y=f（x）在[-3，0]上是減函數，結合周期性，可判斷③的正誤；再由其單調性及周期性可判斷④的正誤．

解答 解：對于①，令x=-3，由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（-3）=0，
又函數y=f（x）是R上的偶函數，所以f（3）=f（-3）=0．
f（x+6）=f（x），即函數y=f（x）是以6為周期的周期函數，
所以f（2016）=f（336×6）=f（0）；
又f（-6）=-2，所以f（0）=-2，
從而f（2016）=-2，即①正確；
對于②，函數關于y軸對稱．周期為6，所以函數y=f（x）圖象的一條對稱軸為x=-6，故②正確；
對于③，當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，
設x₁＜x₂，則f（x₁）＜f（x₂），故函數y=f（x）在[0，3]上是增函數，
根據對稱性，易知函數y=f（x）在[-3，0]上是減函數，故③正確；
對于④，根據周期性，函數y=f（x）在（-9，-6）上為減函數；
因為f（3）=f（-3）=0，又由其單調性及周期性，
可知在[-9，9]，有且僅有f（3）=f（-3）=f（9）=f（-9）=0，
即方程f（x）=0在[9，9]上有4個根，故④正確；
綜上所述，四個命題都正確．
故選：D．

點評 本題考查函數的性質及其應用，考查根的存在及個數判斷，考查轉化思想與推理運算能力，屬于難題．