Question

18．已知使關于x的不等式$\frac{2lnx}{x}$+1≥$\frac{m}{x}$-$\frac{3}{x^2}$對任意的x∈（0，+∞）恒成立的實數m的取值集合為A，函數f（x）=$\sqrt{16-{x^2}}$的值域為B，則有（　　）

• A． B⊆A
• B． A⊆∁_RB
• C． A⊆B
• D． A∩B=∅

Answer 1

分析 用恒成立問題中的分離參數法求出m的范圍，求出f（x）的值域，利用集合的關系的定義判定答案．

解答 解：不等式$\frac{2lnx}{x}$+1≥$\frac{m}{x}$-$\frac{3}{x^2}$對任意的x∈（0，+∞）恒成立
⇒m≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，設g（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，
g′（x）=$\frac{2}{x}+1-\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}=\frac{（x-1）（x+3）}{{x}^{2}}$，
x∈（0，1）時，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，g′（x＞）0，
∴g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
g（x）_min=g（1）=4，∴m≤4，故A=（-∞，4]．
∵0≤$\sqrt{16-{x}^{2}}≤4$∴B=[0，4]，∴B⊆A
故選A．

點評 本題考查了集合間的關系及恒成立問題的處理，屬于中檔題．