Question

8．若函數f（x）=2x³-3ax²+a在R上存在三個零點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． a＞1
• B． a＜-1
• C． a＞1或a＜-1
• D． a＜0

Answer 1

分析 根據函數函數f（x）有三個相異的零點，可得函數f（x）的極大值與極小值異號，利用導數確定函數的極大值與極小值，從而可得不等式，故可求實數a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=2x³-3ax²+a在x∈R上有三個零點，
∴函數f（x）的極大值與極小值異號．
∵f′（x）=6x²-6ax
∴f′（x）=0時，x=0或x=a，
∴f（0）×f（a）=a（2a³-3a³+a）＜0，
∴1-a²＜0，
∴a＞1，或a＜-1，
故選：C．

點評 本題以函數為載體，考查函數的零點，考查利用導數求函數的極值，考查學生分析解決問題的能力，將函數f（x）有三個相異的零點，轉化為函數f（x）的極大值與極小值異號是解題的關鍵．