Question

6．如果定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數f（x）在（0，+∞）內是減函數，又有f（3）=0，則f（x）＞0的解集為（-∞，-3）∪（0，3），x•f（x）＜0的解集為（-∞，-3）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 由函數奇偶性的性質結合已知求得f（x）＞0的解集；利用函數的奇偶性將不等式進行化簡，然后利用函數的單調性確定不等式的解集．

解答 解：由奇函數f（x）在（0，+∞）內是減函數，
可得f（x）在（-∞，0）內也為減函數，又f（3）=0，∴f（-3）=0，
則f（x）＞0的解集為（-∞，-3）∪（0，3）；
不等式x•f（x）＜0等價為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$．
∵函數y=f（x）為奇函數，且在（0，+∞）上是減函數，又f（3）=0，
∴解得x＞3或x＜-3，
即不等式的解集為（-∞，-3）∪（3，+∞）．
故答案為：（-∞，-3）∪（0，3）；（-∞，-3）∪（3，+∞）．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用，考查數學轉化思想方法，是中檔題．