Question

16．已知函數f（x）=log_0.5（x+$\frac{1}{x}$），下列說法：
（1）f（x）的定義域為（0，+∞）；
（2）f（x）的值域為[-1，+∞）；
（3）f（x）是奇函數；
（4）f（x）在（0，1）上單調遞增．
其中說法正確的是（1）（4）．

Answer 1

分析 根據已知中的函數的解析式，求出函數的定義域，值域，奇偶性和單調性，可得結論．

解答 解：由x與$\frac{1}{x}$同號可得：x+$\frac{1}{x}$＞0時，x＞0，
故f（x）的定義域為（0，+∞），故（1）正確；
當x＞0時，x+$\frac{1}{x}$≥2，
故f（x）=log_0.5（x+$\frac{1}{x}$）≤-1，
故f（x）的值域為（-∞，-1]，故（2）錯誤；
函數的定義域不關于原點對稱，故為非奇非偶函數，故（3）錯誤；
當x∈（0，1）時，t=x+$\frac{1}{x}$為減函數，f（x）=log_0.5（x+$\frac{1}{x}$）為增函數，故（4）正確；
故答案為：（1）（4）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數的定義域，值域，奇偶性和單調性，難度中檔．