Question

7．已知函數f（x）=ax²+lnx+1
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若對任意a∈（-2，-1）及x∈[1，2]，恒有ma-f（x）＞a²成立，求實數m的取值集合．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=2ax+\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$（x＞0），根據a≥0，a＜0兩種情況，利用導數性質分類討論函數f（x）的單調性．
（2）原題等價于ma-a²＞f（x）_max，當a∈（-2，-1）時，f（x）在（1，2）上是減函數，由此利用導數性質能求出實數m的取值集合．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+lnx+1，
∴${f}^{'}（x）=2ax+\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$（x＞0），
①當a≥0時，恒有f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數；
②當a＜0時，當0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上是增函數；
當x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時，f′（x）＜0，則f（x）在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上是減函數．
綜上，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數；
當a＜0時，f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上是增函數，f（x）在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上是減函數．
（2）由題意知對任意a∈（-2，-1）及x∈[1，2]時，
恒有ma-f（x）＞a²成立，等價于ma-a²＞f（x）_max，
∵a∈（-2，-1），∴$\frac{1}{2}＜\sqrt{-\frac{1}{2a}}$$＜\frac{\sqrt{2}}{2}＜1$，
由（1）知當a∈（-2，-1）時，f（x）在（1，2）上是減函數，
∴f（x）_max=f（1）=a+1，
∴ma-a²＞a+1，即m＜a+$\frac{1}{a}$+1，
∵y=a+$\frac{1}{a}$+1在a∈（-2，-1）上為增函數，
∴-$\frac{3}{2}＜a+\frac{1}{a}+1＜-1$，
∴實數m的取值集合為{m|m$≤-\frac{3}{2}$}．

點評 本題考查函數的單調性的討論，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．