Question

19．若函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x-2）=f（x），且x∈[-1，1]，f（x）=1-x²，函數g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx（x＞0）}\\{-\frac{1}{x}（x＜0）}\end{array}\right.$則函數h（x）=f（x）-g（x）在區間[-4，5]內零點的個數為（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 由函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x-2）=f（x），可知函數y=f（x）（x∈R）是周期為2的函數，進而根據x∈[-1，1]時，f（x）=1-x²，函數g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx（x＞0）}\\{-\frac{1}{x}（x＜0）}\end{array}\right.$的圖象得到交點個數．

解答 解：因為f（x-2）=f（x），所以函數y=f（x）（x∈R）是周期為2函數．
因為x∈[-1，1]時，f（x）=1-x²，所以作出它的圖象，
利用函數y=f（x）（x∈R）是周期為2函數，可作出y=f（x）在區間[-4，5]上的圖象，如圖所示
再作出函數g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx（x＞0）}\\{-\frac{1}{x}（x＜0）}\end{array}\right.$的圖象，
容易得出到交點為7個．
故選：B．

點評 本題的考點是函數零點與方程根的關系，主要考查函數零點的定義，關鍵是正確作出函數圖象，注意掌握周期函數的一些常見結論：若f（x+a）=f（x），則周期為a；若f（x+a）=-f（x），則周期為2a；若f（x+a）=$\frac{1}{f（x）}$，則周期為2a．