Question

18．直線y=x+b與曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$有且僅有一個公共點，則b的取值范圍是（　　）

• A． |b|=$\sqrt{2}$
• B． -1＜b≤1或b=-$\sqrt{2}$
• C． -1≤b≤$\sqrt{2}$
• D． 0＜b≤1或b=$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把曲線方程整理后可知其圖象為半圓，進而畫出圖象來，要使直線與曲線有且僅有一個交點，那么很容易從圖上看出其三個極端情況分別是：直線在第四象限與曲線相切，交曲線于（0，-1）和另一個點，及與曲線交于點（0，1），分別求出b，則b的范圍可得．

解答 解：曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$有即 x²+y²=1 （x≥0），表示一個半圓（單位圓位于x軸及x軸右側的部分）．
如圖，A（0，1）、B（1，0）、C（0，-1），
當直線y=x+b經過點A時，1=0+b，求得 b=1；
當直線y=x+b經過點B、點C時，0=1+b，求得b=-1；
當直線y=x+b和半圓相切時，由圓心到直線的距離等于半徑，可得1=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$，求得b=-$\sqrt{2}$，或 b=$\sqrt{2}$（舍去），
故要求的實數b的范圍為-1＜b≤1或b=-$\sqrt{2}$，
故選B．

點評 本題主要考查了直線與圓相交的性質．對于此類問題除了用聯立方程轉化為方程的根的問題之外，也可用數形結合的方法較為直觀．