Question

2．若對函數y=f（x）定義域內的每一個值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱此函數為“黃金函數”，給出下列四個函數：①y=$\frac{1}{x}$；②y=log₂x；③y=（$\frac{1}{2}$）^x；④y=x²，其中是“黃金函數”的序號是①③．

Answer 1

分析 利用“黃金函數”的定義，依次分析所給的四個函數，能得到正確答案．

解答 解：對于①，函數y=$\frac{1}{x}$，由f（x₁）f（x₂）=1，得$\frac{1}{{x}_{1}}•\frac{1}{{x}_{2}}$=1，即x₁x₂=1，
對應的x₁、x₂唯一，所以y=$\frac{1}{x}$是“黃金函數”，故①正確．
對于②，因為函數y=log₂x有零點，即當x=1時，y=log₂x=0，
所以當x₁=1時，不存在x₂滿足f（x₁）f（x₂）=1成立，所以函數y=log₂x不是“黃金函數”，故②不正確；
對于③，函數y=（$\frac{1}{2}$）^x，由f（x₁）f（x₂）=1，得（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}_{1}}$（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}_{2}}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=1，即x₁+x₂=0，
所以x₂=-x₁，可得定義域內的每一個值x₁，都存在唯一的值x₂滿足條件，故函數y=（$\frac{1}{2}$）^x是“黃金函數”，故③正確；
對于④，y=x²，由f（x₁）f（x₂）=1，得x₁²x₂²=1，
對應的x₁、x₂不唯一，所以y=x^-2不是“黃金函數”，故④不正確．
綜上所述，正確命題的序號是①③．
故答案為：①③．

點評 本題考查“黃金函數”的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．