Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為150°．
（1）求：|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+3λ$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$），求實數λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量數量積的定義和模長公式，計算即可；
（2）根據兩向量垂直，數量積為0，列出方程求出λ的值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為150°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|×cos150°=$\sqrt{3}$×2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-3，
∴${（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$
=3-4×（-3）+4×4
=31；
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{31}$；
（2）∵（$\overrightarrow{a}$+3λ$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$），
∴（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）=0，
即${\overrightarrow{a}}^{2}$+4λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+3λ²${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
即3-12λ+12λ²=0，
解得λ=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積與應用問題，是基礎題目．