Question

2．△ABC是邊長為2的正三角形，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，給出下列四個結論．
①|$\overrightarrow{b}$|=1，②$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1③$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$④（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{BC}$
其中正確結論的序號是②④．

Answer 1

分析 先畫出圖形，由條件即可得出$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}$，從而判斷出①錯誤，求得$\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，進行數量積的運算即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，然后可求得$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{BC}=0$，這樣即可判斷④正確．

解答 解：如圖，
根據條件：
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$；
∴$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{BC}|=2$，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}×2×2×（-\frac{1}{2}）=-1$；
∵$4\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$；
∴$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{BC}=（2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）•\overrightarrow{BC}$=$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+{\overrightarrow{BC}}^{2}=-4+4=0$；
∴$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{BC}$；
∴正確的序號為：②④．
故答案為：②④．

點評 考查向量的數乘運算，向量的數量積運算及計算公式，以及向量垂直的充要條件．