Question

13．已知命題p：實數m滿足m²-7am+12a²＜0（a＞0），命題q：實數m滿足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1表示焦點在y軸上的橢圓．
（1）當a=1時，若p∧q為真，求m的取值范圍；
（2）若非q是非p的充分不必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出p，q為真時的m的范圍，然后求解交集即可．
（2）分別求出p，q為真時的m的范圍，結合p是q的充分不必要條件，得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）當a=1時，由m²-7m+12＜0，
則3＜m＜4，
即命題p：3＜m＜4，
由$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1，
表示焦點在y軸上橢圓可得：6-m＞m-1＞0，
∴1＜m＜$\frac{7}{2}$，
即命題q：1＜m＜$\frac{7}{2}$，
由p∧q為真，
可得3＜m＜$\frac{7}{2}$．
（2）由m²-7am+12a²＜0（a＞0），
則3a＜m＜4a，
即命題p：3a＜m＜4a
由$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1，
表示焦點在y軸上橢圓可得：6-m＞m-1＞0，
∴1＜m＜$\frac{7}{2}$，
即命題q：1＜m＜$\frac{7}{2}$，
由￢q是￢p 的充分不必要條件，
則p是q的充分不必要條件，
從而有：$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{7}{8}$．

點評 本題考查了充分必要條件，考查復合命題問題，考查解不等式以及橢圓的定義，是一道中檔題．