Question

15．P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一點，F₁，F₂分別是橢圓的左焦點和右焦點，過P點作PH⊥F₁F₂于H，若PF₁⊥PF₂，則|PH|=（　　）

• A． $\frac{25}{4}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． 8
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 利用橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=10．由PF₁⊥PF₂，利用勾股定理可得|PF₁|²+|PF₂|²=8²．即可求出$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=9，再利用三角形的面積S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|PH|，即可得出所求值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1得a²=25，b²=9，則c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{25-9}$=4，
∴|F₁F₂|=2c=8．
由橢圓定義可得PF₁|+|PF₂|=2a=10，
∵PF₁⊥PF₂，∴|PF₁|²+|PF₂|²=8²．
∴2|PF₁|•|PF₂|=（|PF₁|+|PF₂|）²-（|PF₁|²+|PF₂|²）=100-64=36．
解得$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=9．
而S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|PH|，
∴|PH|=$\frac{|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{9}{4}$．
故選：D．

點評 熟練掌握橢圓的定義、標準方程及其性質、勾股定理、三角形的面積公式是解題的關鍵，考查等積法和運算能力，屬于中檔題．