Question

18．數列{b_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數n，都有${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}$；
（1）試證明數列{b_n}是等差數列，并求其通項公式；
（2）如果等比數列{a_n}共有2017項，其首項與公比均為2，在數列{a_n}的每相鄰兩項a_i與a_i+1之間插入i個（-1）ⁱb_i（i∈N^*）后，得到一個新數列{c_n}，求數列{c_n}中所有項的和；
（3）如果存在n∈N^*，使不等式$（n+1）（{b_n}+\frac{8}{b_n}）≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$成立，若存在，求實數λ的范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）n=1時，b₁=1；n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n，即可證明．
（2）通過題意，易得數列{a_n}的通項公式為an=2n，
當m=2k-1（k≥2，k∈N^*）時，數列{c_n}共有（2k-1）+1+2+…+（2k-2）=k（2k-1）項，
其所有項的和為Sk（2k-1）=（2+22+…+22k-1）+[-1+22-32+42-…-（2k-3）2+（2k-2）2]=$\frac{1}{2}$m（m-1）+2^m+1-2．取m=2017時，可得數列{c_n}中所有項的和．
（3）不等式$（n+1）（{b_n}+\frac{8}{b_n}）≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$，即不等式（n+1）$（n+\frac{8}{n}）$≤（n+1）λ≤$n+1+\frac{20}{n+1}$，化為：f（n）=$n+\frac{8}{n}$≤λ≤1+$\frac{20}{（n+1）^{2}}$=g（n）．通過驗證：n=1，2，3時不等式不成立．n≥4時，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．即可得出結論．

解答 （1）證明：n=1時，b₁=1；n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n．n=1時也成立．
∴b_n=n為等差數列，首項與公差都為1．
（2）解：通過題意，易得數列{a_n}的通項公式為a_n=2n，
當m=2k-1（k≥2，k∈N^*）時，
數列{c_n}共有（2k-1）+1+2+…+（2k-2）=k（2k-1）項，
其所有項的和為Sk（2k-1）=（2+22+…+22k-1）+[-1+22-32+42-…-（2k-3）2+（2k-2）2]
=2（2^2k-1-1）+[3+7+…+（4k-5）]
=2^2k-2+（2k-1）（k-1）
=$\frac{1}{2}$m（m-1）+2^m+1-2．
∴m=2017時，數列{c_n}中所有項的和=2²⁰¹⁸+2033134．
（3）不等式$（n+1）（{b_n}+\frac{8}{b_n}）≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$，
即不等式（n+1）$（n+\frac{8}{n}）$≤（n+1）λ≤$n+1+\frac{20}{n+1}$，
化為：f（n）=$n+\frac{8}{n}$≤λ≤1+$\frac{20}{（n+1）^{2}}$=g（n）．
∵f（n）≥f（3）=3+$\frac{8}{3}$，g（n）≤g（1）=6．而n=1，2，3時不等式不成立．
n≥4時，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．因此不存在n∈N^*，
使不等式$（n+1）（{b_n}+\frac{8}{b_n}）≤（n+1）λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$成立．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的定義通項公式及其求和公式、作差法、數列的單調性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．