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8.為了解市民在購買食物時看營養說明與性別的關系,現在社會上隨機詢問了100名市民,得到如下2×2列聯表:
(1)是否有95%的把握認為:“性別與讀營養說明有關系”,并說明理由;
(2)把頻率當概率,若從社會上的男性市民中隨機抽取3位,記這3位中讀營養說明的人數為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數學期望E(ξ).
男性女性總計
讀營養說明402060
不讀營養說明202040
總計6040100
參考公式和數據:${K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(K2≥k0
 
0.100.0500.0250.010
k0
 
2.7063.8415.0246.635

分析 (1)計算K2<3.841,可得結論.
(2)讀營養說明的男性概率為$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$,ξ~B(3,$\frac{2}{3}$),由此求得X的分布列與數學期望.

解答 解:(1)由于${K^2}=\frac{{100{{(40×20-20×20)}^2}}}{60×40×60×40}=\frac{25}{9}<3.841$…(3分)
故沒有95%的把握認為:“性別與讀營養說明有關系”.             …(5分)
(2)由題意可知:讀營養說明的男性概率為$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$,ξ~B(3,$\frac{2}{3}$),
分布列為:

ξ0123
P$\frac{1}{27}$$\frac{2}{9}$$\frac{4}{9}$$\frac{8}{27}$
…(10分)
$E(ξ)=np=3×\frac{2}{3}=2$…(12分)

點評 本題主要考查獨立性的檢驗,離散型隨機變量的分布列與期望,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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(2)如果等比數列{an}共有2017項,其首項與公比均為2,在數列{an}的每相鄰兩項ai與ai+1之間插入i個(-1)ibi(i∈N*)后,得到一個新數列{cn},求數列{cn}中所有項的和;
(3)如果存在n∈N*,使不等式$(n+1)({b_n}+\frac{8}{b_n})≤(n+1)λ≤{b_{n+1}}+\frac{20}{{{b_{n+1}}}}$成立,若存在,求實數λ的范圍,若不存在,請說明理由.

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