Question

18．已知冪函數$y={x}^{{p}^{2}-2p-3}$（p∈N^*）的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數，實數a滿足$（{a}^{2}-1）^{\frac{p}{3}}＜（3a+3）^{\frac{p}{3}}$，則a的取值范圍是（1，4）．

Answer 1

分析 根據冪函數的性質求出p的值，根據冪函數的單調性得到關于a的不等式解出即可．

解答 解：∵冪函數$y={x}^{{p}^{2}-2p-3}$（p∈N^*）在（0，+∞）上是減函數，
∴p²-2p-3＜0，解得-1＜p＜3，
∵p∈N^*，
∴p=1或2．
當p=1時，y=x^-4為偶函數滿足條件，
當p=2時，y=x^-3為奇函數不滿足條件，
則不等式等價為$（{a}^{2}-1）^{\frac{p}{3}}＜（3a+3）^{\frac{p}{3}}$，即${{（a}^{2}-1）}^{\frac{1}{3}}$＜${（3a+3）}^{\frac{1}{3}}$，
∵y=x$\frac{1}{3}$在（-∞，0）和（0，+∞）上都為增函數，
∴a²-1＜3a+3＜0或0＜a²-1＜3a+3，
解得：1＜a＜4，
故答案為：（1，4）．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據冪函數的性質求出冪函數的表達式是解決本題的關鍵．