Question

13．已知橢圓的焦點F₁（0，-1），F₂（0，1），P為橢圓上一動點，且|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，則橢圓的標準方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1

Answer 1

分析 設橢圓方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），c=1，根據|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，可得2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，且|F₁F₂|=2c，|PF₁|+|PF₂|=2a，就可求出a，b的值，再判斷焦點所在坐標軸，就可得到橢圓方程．

解答 解：橢圓的焦點F₁（0，-1），F₂（0，1），橢圓的焦點在y軸上，設橢圓方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），c=1，
∵|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，
∴2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，
∴2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|
又∵|F₁F₂|=2c，|PF₁|+|PF₂|=2a，∴4c=2a，a=2c
∴a=2，b²=a²-c²=3，
又∵橢圓的焦點在y軸上，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故選B．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查等差數列的性質，考查計算能力，屬于中檔題．