Question

5．已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosα}\\{y=2\sqrt{3}+4sinα}\end{array}\right.$（α是參數）．以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C₁的極坐標方程；
（Ⅱ）已知直線C₂傾斜角為α，且過點（2，$\sqrt{3}$），若曲線C₁與直線C₂交于M，N兩點，求|MN|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲線C₁的普通方程，即可求曲線C₁的極坐標方程；
（Ⅱ）|MN|的最大值為曲線C₁的直徑8，由點（2，$\sqrt{3}$），與圓心的距離為$\sqrt{3}$，可得|MN|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosα}\\{y=2\sqrt{3}+4sinα}\end{array}\right.$（α是參數），普通方程為（x-2）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=16，
即x²+y²-4x-4$\sqrt{3}$y=0
∴曲線C₁的極坐標方程ρ=4cos$θ+4\sqrt{3}$sinθ；
（Ⅱ）|MN|的最大值為曲線C₁的直徑8，
由于點（2，$\sqrt{3}$），與圓心的距離為$\sqrt{3}$，∴|MN|的最小值為2$\sqrt{16-3}$=2$\sqrt{13}$．

點評 本題考查參數方程、普通方程、極坐標方程的轉化，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．