Question

15．函數f（x）=ax+$\frac{1}{a}$（2-x），其中a＞0，記f（x）在區間[0，2]上的最小值為g（a），則函數g（a）的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 分三種情況：a＞1；a=1；0＜a＜1進行討論，由一次函數單調性即可求得g（a），據g（a）特征可求其最大值．

解答 解：f（x）=ax+$\frac{1}{a}$（2-x）=（a-$\frac{1}{a}$）x+$\frac{2}{a}$，
（1）當a＞1時，a＞$\frac{1}{a}$，f（x）是增函數，
∴f（x）在[0，2]的最小值為f（0）=$\frac{2}{a}$，∴g（a）=$\frac{2}{a}$；
（2）當a=1時，f（x）=2，∴g（a）=2；
（3）當0＜a＜1時，a-$\frac{1}{a}$＜0，f（x）是減函數，
f（x）在[0，2]上的最小值為f（2）=2a，∴g（a）=2a，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}，a≥1}\\{2a，0＜a＜1}\end{array}\right.$，
因此g（a）最大值為2
故選：D．

點評 本題考查分段函數最值的求法，考查分類討論思想，屬中檔題．