Question

16．已知函數f（x）=2ln（x+1）+$\frac{1}{2}m{x^2}$-（m+1）x有且只有一個極值．
（Ⅰ）求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論m的范圍，根據函數有且只有一個極值，求出m的范圍即可；
（Ⅱ）不妨設-1＜x₁＜1＜x₂，令g（x）=f（2-x）-f（x）（-1＜x＜1），根據函數的單調性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）定義域為（-1，+∞），
$f'（x）=\frac{2}{x+1}+mx-（{m+1}）=\frac{{m{x^2}-x+1-m}}{x+1}=\frac{（x-1）（mx+m-1）}{x+1}$…（2分）
即求f'（x）=0在區間（-1，+∞）上只有一個解，
（1）當m≠0時，由f'（x）=0得x=1或$x=\frac{1}{m}-1$，
則$\frac{1}{m}-1＜-1$，m＜0…（4分）
（2）當m=0時，$f'（x）═\frac{-x+1}{x+1}=0$．得x=1符合題意，
綜上：當m≤0時，f（x）有且只有一個極值         …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：m≤0，x=1時f（x）有且只有一個極大值．
又f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），不妨設-1＜x₁＜1＜x₂
令g（x）=f（2-x）-f（x）（-1＜x＜1）
則g（x）=2ln（3-x）-2ln（x+1）+2x-2（m+1）$g'（x）=\frac{-2}{3-x}-\frac{2}{x+1}+2=\frac{{-2{{（{x-1}）}^2}}}{{（{x+1}）（{3-x}）}}≤0$
所以g（x）在（-1，1）上為減函數，故g（x）＞g（1）=0…（10分）
即當-1＜x＜1時，f（2-x）＞f（x）．
所以f（2-x₁）＞f（x₁）=f（x₂），即f（2-x₁）＞f（x₂）
由（Ⅰ）知，f（x）在（1，+∞）上為減函數，且2-x₁＞1，x₂＞1，
所以2-x₁＜x₂，故x₁+x₂＞2．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道綜合題．