Question

11．曲線$y=\frac{{{x^2}+4}}{x}$的一條切線l與y=x，y軸三條直線圍成三角形記為△OAB，則△OAB外接圓面積的最小值為（　　）

• A． $8\sqrt{2}π$
• B． $8（3-\sqrt{2}）π$
• C． $16（\sqrt{2}-1）π$
• D． $16（2-\sqrt{2}）π$

Answer 1

分析 設直線l與曲線的切點坐標為（x₀，y₀），求出函數的導數，可得切線的斜率和方程，聯立直線y=x求得A的坐標，與y軸的交點B的坐標，運用兩點距離公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圓的半徑，進而得到所求面積的最小值．

解答 解：設直線l與曲線的切點坐標為（x₀，y₀），
函數$y=\frac{{{x^2}+4}}{x}$的導數為$y'=\frac{{{x^2}-4}}{x^2}$．
則直線l方程為$y-\frac{x_0^2+4}{x_0}=\frac{x_0^2-4}{x_0^2}（{x-{x_0}}）$，即$y=\frac{x_0^2-4}{x_0^2}x+\frac{8}{x_0}$，
可求直線l與y=x的交點為A（2x₀，2x₀），與y軸的交點為$B（{0，\frac{8}{x_0}}）$，
在△OAB中，${|{AB}|^2}=4x_0^2+{（{2{x_0}-\frac{8}{x_0}}）^2}=8x_0^2+\frac{64}{x_0^2}-32≥32（{\sqrt{2}-1}）$，
當且僅當x₀²=2$\sqrt{2}$時取等號．
由正弦定理可得△OAB得外接圓半徑為$r=\frac{1}{2}\frac{{|{AB}|}}{{sin{{45}°}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}|{AB}|$，
則△OAB外接圓面積$S=π{r^2}=\frac{1}{2}π{|{AB}|^2}≥16（{\sqrt{2}-1}）π$，
故選C．

點評 本題考查導數的運用：求切線方程，考查導數的幾何意義，同時考查正弦定理的運用，基本不等式的運用：求最值，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．