Question

6．如果定義在R上的函數f（x）滿足：對于任意x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱f（x）為“H函數”．給出下列函數：
①y=-x³+x+l；
②y=3x-2（sinx-cosx）；
③y=l-ex；
④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x≥1）}\\{0（x＜1）}\end{array}\right.$，
其中“H函數”的個數有（　�。�

• A． 3個
• B． 2個
• C． 1個
• D． 0個

Answer 1

分析 根據題意，將x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁）變形可得[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）≥0，進而分析可得若函數f（x）為“H函數”，則函數f（x）為增函數或常數函數；據此依次分析所給函數的單調性，綜合可得答案．

解答 解：根據題意，對于x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁），
則有f（x₁）（x₁-x₂）-f（x₂）（x₁-x₂）≥0，
即[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）≥0，
分析可得：若函數f（x）為“H函數”，則函數f（x）為增函數或常數函數；
對于①、y=-x³+x+l，有y′=-3x²+l，不是增函數也不是常數函數，則其不是“H函數”，
對于②、y=3x-2（sinx-cosx）；有y′=3-2（sinx+cosx）=3-2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），有y′≥0，
y=3x-2（sinx-cosx）為增函數，則其是“H函數”，
對于③、y=l-ex=-ex+1，是減函數，則其不是“H函數”，
對于④、f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x≥1）}\\{0（x＜1）}\end{array}\right.$，當x＜1時是常數函數，當x≥1時是增函數，則其是“H函數”，
故“H函數”有2個，
故選：B．

點評 本題考查函數單調性的判定與應用，關鍵是依據x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁），判斷出函數的單調性．