Question

14．已知圓C：x²+y²=4，點P為直線x+2y-9=0上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA、PB，A、B為切點，則直線AB經過定點（　　）

• A． $（\frac{4}{9}，\frac{8}{9}）$
• B． $（\frac{2}{9}，\frac{4}{9}）$
• C． （2，0）
• D． （9，0）

Answer 1

分析 根據題意設P的坐標為P（9-2m，m），由切線的性質得點A、B在以OP為直徑的圓C上，求出圓C的方程，將兩個圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線AB過的定點坐標．

解答 解：因為P是直線x+2y-9=0的任一點，所以設P（9-2m，m），
因為圓x²+y²=4的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
則點A、B在以OP為直徑的圓上，即AB是圓O和圓C的公共弦，
則圓心C的坐標是（$\frac{9-2m}{2}$，$\frac{m}{2}$），且半徑的平方是r²=$\frac{（9-2m）^{2}+{m}^{2}}{4}$，
所以圓C的方程是（x-$\frac{9-2m}{2}$）²+（y-$\frac{m}{2}$）²=$\frac{（9-2m）^{2}+{m}^{2}}{4}$，①
又x²+y²=4，②，
②-①得，（2m-9）x-my+4=0，即公共弦AB所在的直線方程是：（2m-9）x-my+4=0，
即m（2x-y）+（-9x+4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{-9x+4=0}\end{array}\right.$得x=$\frac{4}{9}$，y=$\frac{8}{9}$，
所以直線AB恒過定點（$\frac{4}{9}$，$\frac{8}{9}$），
故選A．

點評 本題考查了直線和圓的位置關系，圓和圓的位置關系，圓的切線性質，以及直線過定點問題，屬于中檔題．