Question

5．設$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}sin\frac{x}{4}，1}），\overrightarrow n=（{cos\frac{x}{4}，{{cos}^2}\frac{x}{4}}）$，函數f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）當x=π時，求函數f（x）的值；
（2）已知△ABC的三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且滿足bcosC+$\frac{1}{2}$c=a，求△ABC的內角B的大小．

Answer 1

分析 （1）根據題意，利用平面向量的數量積運算法則表示出f（x），再利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，并利用兩角和與差的正弦公式化簡為一個角的正弦函數，將x=π代入計算即可求出值；
（2）利用余弦定理化簡已知等式，整理得到關系式，利用余弦定理表示出cosB，將得出關系式代入求出cosB的值，即可確定出B的度數．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
當x=π時，f（π）=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；
（2）由余弦定理及已知bcosC+$\frac{1}{2}$c=a得：b•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$\frac{1}{2}$c=a，
化簡得a²+c²-b²=ac，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．

點評 此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，以及三角函數中的恒等變換應用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．