Question

15．已知函數$f（x）=2ln（x+1）+\frac{1}{2}m{x^2}-（2m+1）x$
（Ⅰ）若x=1是f（x）的極值點，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間，根據函數的極值點的個數，確定m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{2}{x+1}$+mx-（2m+1），
由已知得，f′（1）=1-m=0，m=1，
此時f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，
由f′（x）=0，得x=1或x=2，
隨x的變化f′（x）、f（x）的變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

故f（x）極大值為f（1）=-$\frac{5}{2}$；f（x）極小值為f（2）=2ln2-4；
（Ⅱ）f（x）定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（mx-1）（x-2）}{x+1}$，
（1）當m=0時，f′（x）=$\frac{-x+2}{x+1}$，
x∈（0，2），f′（x）＞0，x∈（2，+∞），f′（x）＜0，
所以x=2時，f（x）取得極大值；
（2）當m≠0時，由f′（x）=0，得x=2或x=$\frac{1}{m}$，
①若m＜0，則$\frac{1}{m}$＜0，x∈（0，2），f′（x）＞0，x∈（2，+∞），f′（x）＜0，
所以x=2時，f（x）取得極大值；
②若m=$\frac{1}{2}$，則$\frac{1}{m}$=2，f′（x）=$\frac{{（x-2）}^{2}}{2x}$≥0，
f（x）在（0，+∞）上為增函數，無極值；
③若0＜m＜$\frac{1}{2}$，則$\frac{1}{m}$＞2，隨x的變化f′（x）、f（x）的變化情況如下：

x	（0，2）	2	（2，$\frac{1}{m}$）	$\frac{1}{m}$	（$\frac{1}{m}$，+∞）
f′（x））	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以，當x=2時，f（x）取得極大值；當x=$\frac{1}{m}$時，f（x）取得極小值．
④若m＞$\frac{1}{2}$，則0＜$\frac{1}{m}$＜，隨x的變化f′（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，$\frac{1}{m}$）	$\frac{1}{m}$	（$\frac{1}{m}$，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以，當x=$\frac{1}{m}$時，f（x）取得極大值；當x=2時，f（x）取得極小值，
綜上：f（x）有兩個極值點，m的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．