Question

5．在平面直角坐標系xOy中，將直線y=x與直線x=1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉一周得到一個圓錐，圓錐的體積V_圓錐=${∫}_{0}^{1}$πx²dx=$\frac{π}{3}$x³|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{π}{3}$．據此類比：將曲線y=2lnx與直線y=1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉一周得到一個旋轉體，該旋轉體的體積V=π（e-1）．

Answer 1

分析 根據類比推理，結合定積分的應用，即可求出旋轉體的體積．

解答 解：由曲線y=2lnx，可得x=${e}^{\frac{y}{2}}$，
根據類比推理得體積V=${∫}_{0}^{1}π{e}^{y}$dy=$π{e}^{y}{|}_{0}^{1}$=π（e-1），
故答案為：π（e-1）．

點評 本題主要考查旋轉體的體積的計算，根據類比推理是解決本題的關鍵．