Question

13．已知f（x）=|x-a|+|x-1|
（Ⅰ）當a=2，求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若對任意的x，f（x）≥2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a的值帶入，通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）根據絕對值的性質得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=2時，不等式f（x）＜4，即|x-2|+|x-1|＜4，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x-2+x-1＜4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{2-x+x-1＜4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{2-x+1-x＜4}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{7}{2}$，所以不等式的解集為{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{7}{2}$}．
（Ⅱ）∵|x-a|+|x-1|≥|a-1|，當且僅當（x-a）（x-1）≤0時等號成立，
由|a-1|≥2，得a≤-1或a≥3，
即a的取值范圍為（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質，是一道基礎題．