Question

3．在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁為矩形，AB=3，AA₁=3$\sqrt{2}$，D為AA₁的中點，BD與AB₁交于點O，CO⊥側面ABB₁A₁．
（Ⅰ）證明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求二面角A₁-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求得∠ABD=∠AB₁B，且∠ABD+∠BAB₁=∠AB₁B+∠BAB₁=$\frac{π}{2}$，則AB₁⊥BD．再由CO⊥側面ABB₁A₁，得AB₁⊥CO．結合線面垂直的判定可得AB₁⊥平面CBD，進一步得到BC⊥AB₁； 
（Ⅱ）以O為原點，分別以OD，OB₁，OC所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，求出相應點的坐標，再求得平面ABC及平面A₁AC的法向量，由兩個法向量所成角的余弦值可得二面角A₁-AC-B的平面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：由題意tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，tan∠AB₁B=$\frac{AB}{BB1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜∠ABD＜$\frac{π}{2}$，0＜∠AB₁B＜$\frac{π}{2}$，∴∠ABD=∠AB₁B，
∴∠ABD+∠BAB₁=∠AB₁B+∠BAB₁=$\frac{π}{2}$，則AB₁⊥BD．
又CO⊥側面ABB₁A₁，AB₁⊥CO．
又BD與CO交于點O，AB₁⊥平面CBD，
又BC?平面CBD，BC⊥AB₁； 
（Ⅱ）解：如圖，以O為原點，分別以OD，OB₁，OC所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，
則$A（0，-\sqrt{3}，0）$，B（$-\sqrt{6}$，0，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（$0，2\sqrt{3}，0$），
∴$\overrightarrow{AB}=（-\sqrt{6}，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{AC}=（0，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}=\overrightarrow{B{B}_{1}}=（\sqrt{6}，2\sqrt{3}，0）$．
設平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{6}x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，可得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）是平面ABC的一個法向量．
設平面A₁AC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=\sqrt{6}x+2\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=2，可得$\overrightarrow{m}$=（2，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）是平面A₁AC的一個法向量．
設二面角A₁-AC-B的平面角為α，則cosα=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{2}{2\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
二面角A₁-AC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查空間中直線與直線的位置關系，考查二面角平面角的求法，訓練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．