Question

1．若定義在R上的函數f（x）滿足f（x）+f'（x）＜1且f（0）=3，則不等式$f（x）＞\frac{2}{e^x}+1$（其中e為自然對數的底數）的解集為（-∞，0）．

Answer 1

分析 構造函數g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解．

解答 解：設g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＜1，
∴f（x）+f′（x）-1＜0，
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定義域上單調遞減，
∵e^xf（x）＞e^x+2，
∴g（x）＞2，
又∵g（0）═e⁰f（0）-e⁰=3-1=2，
∴g（x）＞g（0），
∴x＜0
故答案為：（-∞，0）．

點評 本題考查函數單調性與奇偶性的結合，結合已知條件構造函數，然后用導數判斷函數的單調性是解題的關鍵．