Question

10．在△ABC中，角C=60°，tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=1，則tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用三角形內角和定理，構造思想，可得cot$\frac{C}{2}$=tan（$\frac{A}{2}+\frac{B}{2}$）=$\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}{1-tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}}$即可求出．

解答 解：由題意：角C=60°，tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=1，
根據cot$\frac{C}{2}$=tan（$\frac{A}{2}+\frac{B}{2}$）=$\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}{1-tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}}$，
可得：$\sqrt{3}$=$\frac{1}{1-tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}}$，
解得：tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$=$1-\frac{\sqrt{3}}{3}$
故答案為：1$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 本題主要考查了三角形內角和定理的轉化和兩角和與差的正切的計算．屬于基礎題．