Question

2．已知在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}•tsin\frac{π}{6}\\ y=tcos\frac{7π}{4}-6\sqrt{2}\end{array}\right.$（t是參數）
以原點O為極點，Ox為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為$ρ=4cos（{θ+\frac{π}{4}}）$．
（1）求直線l的普通方程和圓心C的直角坐標；
（2）求圓C上的點到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數關系式和誘導公式，兩角和與差的公式，ρsinθ=y，ρcosθ=x消去參數即可得直線l的普通方程和圓心C的直角坐標
（2）利用圓心到直線的距離減去半徑即可是最小值．

解答 解：（1）直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}•tsin\frac{π}{6}\\ y=tcos\frac{7π}{4}-6\sqrt{2}\end{array}\right.$（t是參數），可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t-6\sqrt{2}}\end{array}\right.$
消去t可得：y=x-$6\sqrt{2}$
∴直線l的普通方程為$y=x-6\sqrt{2}$
又∵$ρ=4cos（{θ+\frac{π}{4}}）$，開展可得：ρ=$2\sqrt{2}$cosθ-2$\sqrt{2}$sinθ
得：${ρ^2}=2\sqrt{2}xρcosθ-2\sqrt{2}ρsinθ$，
根據ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴圓C的普通方程為${x^2}+{y^2}=2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y$，即${x^2}+{y^2}-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=0$，
即：圓心C的直角坐標為$（{\sqrt{2}，-\sqrt{2}}）$．半徑r=2．
（2）圓C上的點到直線l距離的最小值．即是圓心到直線的距離減去半徑．
由（1）可得圓心C的直角坐標為$（{\sqrt{2}，-\sqrt{2}}）$．半徑r=2．
∴圓心到直線的距離$d=\frac{{|{\sqrt{2}+\sqrt{2}-6\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{2}}}=4$，
又d-r=2，
∴圓C上的點到直線l距離最小值為2．

點評 本題主要考查了參數方程，極坐標方程與普通方程的換算．屬于基礎題．