Question

19．已知函數f（x）=ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，g（x）=e^x-2，對?m∈R，?n∈（0，+∞）使得g（m）=f （n）成立，則n-m的最小值為（　　）

• A． -ln 2
• B． ln 2
• C． 2$\sqrt{e}$-3
• D． e2-3

Answer 1

分析 由g（m）=f （n），求出m的表達式，從而得出n-m的表達式，設h（x）=$\frac{{e}^{x-2}}{ln\frac{x\sqrt{e}}{2}}$，求得導數，求出單調區間和極小值，也為最小值，進而求出n-m的最小值．

解答 解：根據題意，g（m）=f （n）
即e^m-2=ln$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴m=2+ln（ln$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$），
∴n-m=n-2-ln（ln$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$），
=lne^n-2-ln（ln$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$），
=ln$\frac{{e}^{n-2}}{ln\frac{n\sqrt{e}}{2}}$，
設h（x）=$\frac{{e}^{x-2}}{ln\frac{x\sqrt{e}}{2}}$，
則h′（x）=$\frac{{e}^{x-2}（ln\frac{x}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{x}）}{（ln\frac{x}{2}+\frac{1}{2}）^{2}}$，
令h′（x）=0，得ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$=0，
由x＞0，可得ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$遞增，
當x=2時，h′（x）=0，
x＞2時，h′（x）＞0，h（x）遞增；
0＜x＜2時，h′（x）＜0，h（x）遞減．
可得x=2處取得極小值且為最小值h（2）=2，
則n-m的最小值為ln2．
故選：B．

點評 本題考查了求函數最值的問題，解題的關鍵是建立目標函數，利用導數求目標函數的最值，是較難的題目．