Question

4．已知圓C₁：x²+y²-6x+5=0，拋物線C₂：y2=x，過點M（m，0）的直線l與圓C₁交于 A，B兩點，與C₂相交于C，D兩點．
（1）若m=0，當直線l 繞點M 旋轉變化時，求線段 AB 中點R的軌跡方程；
（2）當m=2且$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$時，求直線l 的方程．

Answer 1

分析 （1）由圓的性質可知，$\overrightarrow{OR}•\overrightarrow{{C_1}R}=0$，得x（x-3）+y²=0，與圓C₁：x²+y²-6x+5=0聯立，即可求線段 AB 中點R的軌跡方程；
（2）當m=2且$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$時，分類討論，直線與拋物線聯立，利用韋達定理，即可求直線l 的方程．

解答 解：（1）設R（x，y），圓${C_1}：{（x-3）^2}+{y^2}=4$，圓心C₁（3，0），…（1分）
$\overrightarrow{OR}=（x，y）$，$\overrightarrow{{C_1}R}=（x-3，y）$…（2分）
由圓的性質可知，$\overrightarrow{OR}•\overrightarrow{{C_1}R}=0$…（3分）
得x（x-3）+y²=0，
即x²+y²-3x=0…（4分）
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-3x=0\\{x^2}+{y^2}-6x+5=0\end{array}\right.$解得$x=\frac{5}{3}$
當直線l經過圓C₁的圓心時，R點得坐標為（3，0）…（5分）
所求軌跡方程為x²+y²-3x=0，其中$\frac{5}{3}＜x＜3$，軌跡為兩段圓�。�…（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
因為$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$
從而x₃-x₁=x₂-x₄，即x₁+x₂=x₃+x₄，…（7分）
因為m=2，當直線l的斜率不存在時，顯然符合題意，l的方程為x=2…（8分）
當直線l的斜率存在時，設斜率為k，則l的方程為y=k（x-2），k≠0，
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\{y^2}=x\end{array}\right.$得k²x²-（4k²+1）x+4k²=0，△=（4k²+1）²-16k²＞0恒成立
由x₁，x₂是這個方程的兩根，${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+1}}{k^2}，{x_1}{x_2}=4$…（9分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\{x^2}+{y^2}-6x+5=0\end{array}\right.$得（1+k²）x²-（4k²+6）x+4k²+5=0，
而x₃，x₄是這個方程的兩根，${x_3}+{x_4}=\frac{{4{k^2}+6}}{{1+{k^2}}}，{x_3}{x_4}=\frac{{4{k^2}+5}}{{1+{k^2}}}$，…（10分）
因為x₁+x₂=x₃+x₄，得$\frac{{4{k^2}+1}}{k^2}$=$\frac{{4{k^2}+6}}{{1+{k^2}}}$，解得k²=1，即k=±1…（11分）
所以l的方程為y=x-2或y=-x+2或x=2…（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．