Question

14．函數f（x）=4sin$\frac{π}{2}$x-$\sqrt{6x-{x}^{2}}$所有零點的和等于18．

Answer 1

分析 作出y=4sin$\frac{π}{2}$x和y=$\sqrt{6x-{x}^{2}}$的函數圖象，利用導數的幾何意義判斷f（x）的零點個數，根據函數圖象的對稱性得出零點之和．

解答 解：令f（x）=0得4sin$\frac{π}{2}$x=$\sqrt{6x-{x}^{2}}$，
令g（x）=4sin$\frac{π}{2}$x，h（x）=$\sqrt{6x-{x}^{2}}$，
做出y=g（x）和y=h（x）的函數圖象如圖所示：

顯然x=0和x=6為f（x）的零點，
且f（x）在（1，3）和（3，5）上各存在一個零點，
∵g′（x）=2πcos$\frac{π}{2}$x，∴g′（0）=2π，
∵y=h（x）的圖象為圓心為（3，0），半徑為3的半圓，
∴y=h（x）在（0，0）處的切線為y軸，
∴f（x）在（0，1）上存在零點，
同理f（x）在（5，6）上存在一個零點．
∴f（x）在[0，6]上共有6個零點，
∵g（x）和h（x）的函數圖象關于直線x=3對稱，
∴f（x）的零點關于直線x=3對稱，
∴f（x）的所有零點之和為6×3=18．
故答案為：18．

點評 本題考查了函數零點的個數判斷，函數圖象的性質，屬于中檔題．