Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右頂點分別為A，B，F為橢圓C的右焦點，圓x²+y²=4上有一動點P，P不同于A，B兩點，直線PA與橢圓C交于點Q，則$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{3}{4}$）∪（0，$\frac{3}{4}$）
• B． （-∞，0）∪（0，$\frac{3}{4}$）
• C． （-∞，-1）∪（0，1）
• D． （-∞，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 取特殊點P（0，2），P（0，-2），求出$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$，利用排除法，可得結論．

解答 解：取特殊點P（0，2），則PA方程為y=x+2
與橢圓方程聯立，可得7x²+16x+4=0=0，所以x=-2或-$\frac{2}{7}$，所以Q（-$\frac{2}{7}$，$\frac{12}{7}$），
∴k_PB=-1，k_QF=$\frac{\frac{12}{7}}{-\frac{2}{7}-1}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$=$\frac{3}{4}$．
同理取P（0，-2），$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$=-$\frac{3}{4}$．
根據選項，排除A，B，C，
故選D．

點評 本題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查特殊法的運用，屬于中檔題．